四重極子によるポテンシャル
Potential generated by quadrupole

名古屋工業大学
先進セラミックス研究センター
井田 隆

名古屋工業大学 環境材料工学科 3 年次授業「マテリアルデザイン」の講義ノートです。

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第２部　構造のシミュレーション
Simulation of Structure

第６章　クーロン力
Coulomb force

６−３　四重極子によるポテンシャル
Potential generated by quadrupole

四重極子 quadrupole は，「絶対値が等しく異符号の電荷を小さい正方形の頂点に交互にならべたもの」を意味します。 正方形の大きさは無限に小さいとします。 四重極子は３行３列の正方行列 Q として表されます。 正方形の向きを決める２つのベクトルを R，R′ とします。これらの電荷がつくるポテンシャルは Q = q(R ; R′) の四重極子の作る電場で近似できます。

原点に四重極子 Q を置いたとき，位置 r で単位電荷が受けるポテンシャルは，

VQ(r) =
lim
R→0
[
V+Q/R2(r − R − R′)
+ V−Q/R2(r − R)
+ V−Q/R2(r − R′)
+ V+Q/R2(r) ]
(6.3.1)

と表すことができます。この式を解けば，

VQ(r) =
Q
4 π ε0
lim
R→0
1
R2
( 1
| r − R − R′ |
− 1
| r − R |
− 1
| r − R′ |
+ 1 )
r
= p
4 π ε0 r3
lim
R→0
r · R
R
= p · r
4 π ε0 r3
(6.2.2)

となります。双極子から電荷が受けるポテンシャルは，距離の −2 乗に比例することに注意してください。

双極子がつくる電場は

E = − ∇ Vp( r )
(6.2.3)

と表されます。 したがって，電場の x, y, z 成分は

Ex = − (4 π ε0)−1 r−3 [px − 3 (p · r) x / r]
(6.2.4)
Ey = − (4 π ε0)−1 r−3 [py − 3 (p · r) y / r]
(6.2.5)
Ez = − (4 π ε0)−1 r−3 [pz − 3 (p · r) z / r]
(6.2.6)

と書く事ができて，まとめれば，

E = − (4 π ε0)−1 r−3 [p − 3 (p · r) r / r]
(6.2.7)

となります。双極子がつくる電場は，距離の −3 乗に比例します。

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2013年5月17日更新