レナード・ジョーンズ・ポテンシャル
Lennard-Jones potential

名古屋工業大学
先進セラミックス研究センター
井田 隆

名古屋工業大学 環境材料工学科 3 年次授業「マテリアルデザイン」の講義ノートです。

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第２部　構造のシミュレーション
Simulation of Structure

第５章　原子の間にはたらく力
Interatomic force

５−３　レナード・ジョーンズ・ポテンシャル
Lennard-Jones potential

原子の間には引力と反発力（斥力）がはたらくので，隣り合う原子はこれらがちょうど釣り合う位置をとろうとして，原子の種類によって大体決まった間隔をとります。引力の原因には，共有結合，金属結合，イオン結合（静電クーロン力，電荷が異符号の場合），ファンデルワールス結合があります。

反発力（斥力）の原因には，静電クーロン力（電荷が同符号の場合），交換斥力（別のものが同時に同じ場所にいられないこと＝パウリの排他律による）があります。

原子の間にはたらく引力の強さ f と原子間ポテンシャルφ(r) の間には，

f = dφ(r)
dr
(5.3.1)

の関係があります。

レナード−ジョーンズ Lennard-Jones ポテンシャルは主にファンデルワールス力と交換斥力（反発力）とをモデル化するもので，以下の式で表現されます。

φij(r) = 4 εij [ ( σij ) 12 − ( σij ) 6 ]
r r
(5.3.2)

ここで i，j は原子の種類を意味します。 原子の組 (i, j) が決まれば，式が含む二つのパラメータ σij と εij とが決まります。

σij は平均原子間距離（２つの原子の半径の和）に対応し，εij は力の強さ（ポテンシャルの大きさ）に対応するパラメータです。また 12 乗の項が反発力， 6 乗の項が引力項を表しています。イオン性結晶の場合にはクーロン・ポテンシャルを組みこんだ以下の式が用いられます。

φij(r) = qi qj + 4 εij [ ( σij ) 12 − ( σij ) 6 ]
4 π ε0 r r r
(5.3.3)

ここで，二つのイオンの電荷を qi，qj としています。ε0 は真空の誘電率です。

同種原子の間のポテンシャルを決めるパラメータがわかっているとき，以下の式で異種原子の間のパラメータを決めることができるとされています。

σij = σii + σjj
2
(5.3.4)
εij = √ εii εjj
(5.3.5)

この関係をローレンツ・ベルテロ Lorentz-Berthelot の組み合わせ則と呼びます。平均原子間距離には算術平均 arithmetic average，ポテンシャルの大きさには幾何平均 geometric average が用いられます。

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2007年7月19日作成
2013年5月7日更新