点電荷によるポテンシャル
Potential generated by point charge

名古屋工業大学
先進セラミックス研究センター
井田 隆

名古屋工業大学 環境材料工学科 3 年次授業「マテリアルデザイン」の講義ノートです。

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第２部　構造のシミュレーション
Simulation of Structure

第６章　クーロン力
Coulomb force

６−１　点電荷によるポテンシャル
Potential caused by point charge

原点に点電荷 q が置かれているとき，位置 r にある単位電荷が受けるポテンシャル V(r) は

V(r) =
q
4 π ε0 r
(6.1.1)

と表されます。 ただし，ここで r = | r | としています。 また，r = (x, y, z) として詳しく書くと，

V(x, y, z) =
q
4 π ε0 (x2 + y2 + z2)1/2
(6.1.2)

と表されます。 式 (6.1.1) と (6.1.2) は，まったく同じ事を表していることに注意してください。

このとき，電場は

E =
−∇ V(r)
= q r
4 π ε0 r3
(6.1.3)

と表されます。電場 E の向きはポテンシャル V(r) の下がる方向であり，電場の強さは距離の二乗に反比例する事に注意してください。

E = (Ex, Ey, Ez) とすれば，電場の x 成分，y 成分，z 成分は，

Ex =
− ∂ V(x, y, z)
∂ x
= q x
4 π ε0 (x2 + y2 + z2)3/2
(6.1.4)
Ey =
− ∂ V(x, y, z)
∂ y
= q y
4 π ε0 (x2 + y2 + z2)3/2
(6.1.5)
Ez =
− ∂ V(x, y, z)
∂ z
= q z
4 π ε0 (x2 + y2 + z2)3/2
(6.1.6)

と書くことができます。 式 (6.1.3) と式 (6.1.4) – (6.1.6) とが，やはりまったく同じ事を表しているのを確認してください。

電荷 q′ が電場 E から受ける力 f は，f = q′ E と表されます。

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2013年5月16日公開