二次方程式の解
Solution of quadratic equation

名古屋工業大学
先進セラミックス研究センター
井田 隆

名古屋工業大学 環境材料工学科 3 年次授業「マテリアルデザイン」の講義ノートです。

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第１部　コンピュータの基礎
Fundamentals about Computer

第４章　数値計算
Numerical calculation

４−５　数値計算の技術
Tips for numerical calculation

４−５−３　二次方程式の解
Solution of quadratic equation

二次方程式： x2 + 2bx + c = 0 の解は

x
= −b ± √
b2 − c
(4.5.5)

ですが，b > 0，c > 0 で c の値が小さいとき，複号（±）のうちプラスの方の解：

x
= −b + √
b2 − c
(4.5.6)

をこの形式のままで計算すると「桁落ち」 underflowアンダーフロー により精度が下がってしまいます。

例えば，b = 0.500005, c = 0.00001 のとき，二次方程式の解は x = −1, −0.00001 となるはずですが，倍精度実数を使っても，式 (4.5.6) の通りに計算をすると

x
= −b + √
b2 − c
= − 0.000010 000000 00001

となって，少し間違った値になってしまいます。 この場合，有理化と逆の式変形をして，

x
= −b + √
b2 − c
= − c
b + √ b2 − c
(4.5.7)

という形式を用いて計算すれば桁落ちを防ぐ事ができて，x = − 0.00001 という正解が得られます。

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2005年10月26日公開
2013年5月5日更新