数値積分
Numerical integral

名古屋工業大学
先進セラミックス研究センター
井田 隆

名古屋工業大学 環境材料工学科 3 年次授業「マテリアルデザイン」の講義ノートです。

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第１部　コンピュータの基礎
Fundamentals about Computer

第４章　数値計算
Numerical calculation

４−４　数値積分
Numerical integral

微分は必ず解析的に解けますが，積分は解析的には解けない場合があります。 ところが，数値計算を使えば，どのような積分でも必ず近似的には解くことができます。

数値計算によって定積分

S = ∫ b f(x) dx (4.4.1)
a

の値を求める事ができます。数値計算によって定積分の値を求める方法は数値積分 numerical integral あるいは求積法 quadrature と呼ばれます。

一般的に以下の形式が用いられます。

S = (b − a)
[ w1 f(a+(b−a)x1)
+ w2 f(a+(b−a)x2)
+ … + wN f(a+(b−a)xN) ]
(4.4.2)

ここで xj は標本点の位置， wj は標本点の重みを意味します。

中点法 mid-point method

最も単純な標本点の取り方は，積分区間を N 等分した小区間の中点にとる取り方で，

xj = j − 0.5
N
(j = 1, … N)
wj = 1
N
(4.4.3)

とします。この方法を中点法 mid-point method と呼びます。

台形法 trapezoidal method

台形法 trapezoidal method では積分区間を (N − 1) 等分する分割点に標本点をとり，

xj = j − 1
N − 1
(j = 1, … N)
w1 = wN = 1
2 (N − 1)
wj = 1
N − 1
(j = 2, … N−1)
(4.4.4)

とします。

他の数値積分の方法に，シンプソン Simpson 法，ガウス Gauss 法などがあります。

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2005年10月26日公開
2013年5月5日更新