特殊関数
Special functions

名古屋工業大学
先進セラミックス研究センター
井田 隆

名古屋工業大学 環境材料工学科 3 年次授業「マテリアルデザイン」の講義ノートです。

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第１部　コンピュータの基礎
Fundamentals about Computer

第４章　数値計算
Numerical calculation

４−２　初等関数と特殊関数
Elementary and special functions

４−２−２　特殊関数
Special functions

特殊関数 special functions の多くは，微分方程式の解や積分，級数の形で定義されます。 本来は定義を明確にして使うべきですが，いくつかの特殊関数は断り無しに使われる場合もあります。 ここではいくつかのよく使われる特殊関数を紹介します。

(1) Γ 関数 gamma function

Γガンマ関数, Γ(x) は以下の積分で定義されます。

Γ(x) ≡  ∫ ∞ tx − 1 e−t dt
0

(2) 不完全 Γ 関数 incomplete gamma functions

規格化された Legendreルジャンドル の第１種不完全 Γガンマ 関数 (normalized Legendre's incomplete gamma function of the first kind) P(ν, x) は以下の式で定義されます。

P(ν, x) ≡  1 ∫ x tν − 1 e−t dt
Γ(ν) 0

同様に，規格化された Legendreルジャンドル の第２種不完全 Γガンマ 関数 (normalized Legendre's incomplete gamma function of the second kind) Q(ν, x) は以下の式で定義されます。

Q(ν, x) ≡  1 ∫ ∞ tν − 1 e−t dt
Γ(ν) x

(3) 誤差関数と補誤差関数
error function and complementary error function

誤差関数 (error function) erf(x) は以下の式で定義されます。

erf(x) ≡  2 ∫ x exp( −x2 ) dt
√π 0

補誤差ほごさ関数 (complementary error function) erfc(x) は以下の式で定義されます。

erfc(x) ≡  2 ∫ ∞ exp( −x2 ) dt
√π x

以下の関係があります。

erf(x) = P ( 1 , x2 )
2

erfc(x) = Q ( 1 , x2 )
2

(4) Bessel 関数

第１種 Besselベッセル 関数 (Bessel function of the first kind) Jν(x) は，以下の級数で定義されます。

Jν(x) =  ∞ (−1)k ( x ) ν + 2k
∑
k! Γ(ν + k + 1) 2
k = 0

第２種 Besselベッセル 関数 (Bessel function of the second kind) Yν(x) は，以下の式で定義されます。

Yν(x) =  Jν(x) cos(νπ) − J−ν(x)
sin(νπ)

第１種の変形 Besselベッセル 関数 (modified Bessel function of the first kind) Iν(x) は，以下の級数で定義されます。

Iν(x) =  ∞ 1 ( x ) ν + 2k
∑
k! Γ(ν + k + 1) 2
k = 0

第２種の変形 Besselベッセル 関数 (modified Bessel function of the second kind) Kν(x) は，以下の式で定義されます。

Kν(x) =  π [ I−ν(x) − Iν(x) ]
2 sin(νπ)

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2005年10月26日公開
2013年4月30日更新