初等関数
Elementary functions

名古屋工業大学
先進セラミックス研究センター
井田 隆

名古屋工業大学 環境材料工学科 3 年次授業「マテリアルデザイン」の講義ノートです。

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第１部　コンピュータの基礎
Fundamentals about Computer

第４章　数値計算
Numerical calculation

４−２　初等関数と特殊関数
Elementary and special functions

４−２−１　初等関数
Elementary functions

初等関数 elementary functions は，大きく分類すると
(1) 指数関数 exponential function
(2) 対数関数 logarithmic function
(3) 三角関数 trigonometric functions
(4) 逆三角関数 inverse trigonometric functions
(5) 双曲線関数 hyperbolic functions
(6) 逆双曲線関数 inverse hyperbolic functions
の６種類に分けられます。

さらに，三角関数，逆三角関数，双曲線関数，逆双曲線関数にはそれぞれ６種類の関数が含まれていて，合わせて 2 + 6 × 4 = 26 種類の関数が初等関数と呼ばれています。

以下に，26 種類のすべての初等関数を列挙します。

(1) 指数関数 exponential function

exp(x) = ex
ここで e は「自然対数の底てい」ですが，ネイピア数 Napier's constant と呼ばれることもあります。 e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 … という値を持ちます。

(2) 対数関数 logarithmic function

ln x, log x, loge x
この関数は指数関数の逆関数であり， 上の書き方はいずれも e を底てい とする自然対数 natural logarithm を表すことになっていますが， まれに 10 を底とする常用対数が log x と表記される場合があります。 紛らわしさを避けるために自然対数を ln x ，常用対数を log10 x と表記する例が多くなっています。

(3) 三角関数 trigonometric functions

三角関数には以下の６種類の関数があります。

(3-1) 正弦せいげん関数 sineサイン function

sin x

(3-2) 余弦よげん関数 cosineコサイン function

cos x

(3-3) 正接せいせつ関数 tangentタンジェント function

tan x

(3-4) 正割せいかつ関数 secantセカント function

sec x ≡  1
cos x

正割関数は余弦関数の逆数として定義されます。

(3-5) 余割よかつ関数 cosecantコセカント function

cosec x ≡  1
sin x

余割関数は正弦関数の逆数として定義されます。 csc x と表記される場合もあります。

(3-6) 余接よせつ関数 cotangentコタンジェント function

cot x ≡  1
tan x

余接関数は正接関数の逆数として定義されます。

(4) 逆三角関数 inverse trigonometric functions

逆三角関数は三角関数の逆関数であり，以下の６種類があります。

(4-1) 逆正弦せいげん関数 arcsineアークサイン function

arcsin x

逆正弦関数は正弦関数の逆関数です。 asin x と表記される場合もあります。 sin−1 x と表記される場合もありますが，逆関数なのか逆数なのか紛らわしいので勧められません。 逆正弦関数の値を

− π  ≤ arcsin x ≤  π
2 2

と制限する場合が多く，この場合に Arcsin x という表記を用いる流儀もあります。

(4-2) 逆余弦よげん関数 arccosineアークコサイン function

arccos x

逆余弦関数は余弦関数の逆関数です。 acos x と表記される場合もあります。 cos−1 x と表記される場合もありますが，逆関数か逆数か紛らわしいので勧められません。 逆余弦関数の値を

0 ≤ arccos x ≤ π

と制限する場合が多く，この場合に Arccos x という表記を用いる流儀もあります。

(4-3) 逆正接せいせつ関数 arctangentアークタンジェント function

arctan x

逆正弦関数は正弦関数の逆関数です。 atan x と表記される場合もあります。 tan−1 x と表記される場合もありますが，逆関数か逆数かが紛らわしいので勧められません。 逆正接関数の値を

− π  < arctan x <  π
2 2

と制限する場合が多く，この場合に Arctan x という表記を用いる流儀もあります。

(4-4) 逆正割せいかつ関数 arcsecantアークセカント function

arcsec x

逆正割関数は正割関数の逆関数です。 sec−1 x という表記が用いられる場合もありますが，逆関数か逆数かが紛らわしいので勧められません。

(4-5) 逆余割よかつ関数 arccosecantアークコセカント function

arccosec x

逆余割関数は余割関数の逆関数です。 cosec−1 x, csc−1 x という表記が用いられる場合もありますが，逆関数か逆数かが紛らわしいので勧められません。

(4-6) 逆余接よせつ関数 arccotangentアークコタンジェント function

arccot x

逆余接関数は余接関数の逆関数です。 cot−1 x という表記が用いられる場合もありますが，逆関数か逆数かが紛らわしいので勧められません。

(5) 双曲線関数 hyperbolic functions

双曲線関数には以下の６種類の関数があります。

(5-1) 双曲正弦せいげん関数 hyperbolicハイパボリック sineサイン function

sinh x ≡  ex − e−x
2

(5-2) 双曲余弦よげん関数 hyperbolicハイパボリック cosineコサイン function

cosh x ≡  ex + e−x
2

(5-3) 双曲正接せいせつ関数 hyperbolicハイパボリック tangentタンジェント function

tanh x ≡  ex − e−x
ex + e −x

(5-4) 双曲正割せいかつ関数 hyperbolicハイパボリック secantセカント function

sech x ≡  2
ex + e −x

双曲正割関数は双曲余弦関数の逆数です。

(5-5) 双曲余割よかつ関数 hyperbolicハイパボリック cosecantコセカント function

cosech x ≡  2
ex − e −x

双曲余割関数は双曲正弦関数の逆数です。 csch x と表記される場合もあります。

(5-6) 双曲余接よせつ関数 hyperbolicハイパボリック cotangentコタンジェント function

coth x ≡  ex + e −x
ex − e −x

双曲余接関数は双曲正接関数の逆数です。

(6) 逆双曲線関数 inverse hyperbolic functions

逆双曲線関数は双曲線関数の逆関数であり，以下の６種類の関数があります。

(6-1) 逆双曲正弦せいげん関数
arc hyperbolic sine function

arcsinh x = ln ( x + √ x2 + 1 )

逆双曲正弦関数は双曲正弦関数の逆関数です。 arsinh x, asinh x と表記される場合もあります。

(6-2) 逆双曲余弦よげん関数
arc hyperbolic cosine function

arccosh x = ln ( x + √ x + 1 √ x − 1 )

逆双曲余弦関数は双曲余弦関数の逆関数です。 arcosh x, acosh x と表記される場合もあります。

(6-3) 逆双曲正接せいせつ関数
arc hyperbolic tangent function

arctanh x =  1 ln 1 + x
2 1 − x

逆双曲正接関数は双曲正接関数の逆関数です。 artanh x, atanh x と表記される場合もあります。

(6-4) 逆双曲正割せいかつ関数
arc hyperbolic secant function

arcsech x = ln ( 1  +  √ 1  + 1 √ 1  − 1 )
x x x

逆双曲正割関数は双曲正割関数の逆関数です。 arsech x と表記される場合もあります。

(6-5) 逆双曲余割よかつ関数
arc hyperbolic cosecant function

arccosech x = ln ( 1  +  √ 1  + 1 )
x x2

逆双曲余割関数は双曲余割関数の逆関数です。 arccsch x, arcsch x と表記される場合もあります。

(6-6) 逆双曲余接よせつ関数
arc hyperbolic cotangent function

arccoth x =  1 ln x + 1
2 x − 1

逆双曲余接関数は双曲余接関数の逆関数です。 arcoth x と表記される場合もあります。

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2005年10月26日公開
2013年4月30日更新