級数展開
Power-series expansion

名古屋工業大学
先進セラミックス研究センター
井田 隆

名古屋工業大学 環境材料工学科 3 年次授業「マテリアルデザイン」の講義ノートです。

前へ 上へ 次へ

第１部　コンピュータの基礎
Fundamentals about Computer

第４章　数値計算
Numerical calculation

４−２　初等関数と特殊関数
Elementary and special functions

４−２−３　級数展開
Power-series expansion

級数展開あるいは冪べき級数展開，整級数展開は，関数を以下の Taylorテイラー展開の形式で近似する方法です。

f(x) ∼ 
f(x0)
+ (x − x0) f ′(x0)
+ (x − x0)2 f ′′(x0)
2
+ (x − x0)3 f ′′′(x0)
3!
+ (x − x0)4 f(4)(x0)
4!
+ … + (x − x0)N f (N)(x0)
N!

x0 = 0 とすれば，以下の Maclaurinマクローリン 展開の形式が導かれます。

f(x) ∼ 
f(0)
+ x f ′(0)
+ x2 f ′′(0)
2
+ x3 f ′′′(0)
3!
+ x4 f(4)(0)
4!
+ … + xN f (N)(0)
N!

例えば，指数関数 exp(x) は，x の絶対値が小さい場合には，

exp(x) ∼ 
1
+ x
+ x2
2
+ x3
3!
+ x4
4!
+ … + xN
N!

の形で計算できます。Napierネイピア 数（自然対数の底てい）は

e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 …

という値をとりますが，

1 + 1 = 2
1 + 1 + 1 = 2.5
2
1 + 1 + 1 + 1 = 2.666…
2 3!
1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 2.70833…
2 3! 4!
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 2.71666…
2 3! 4! 5!
1 + 1 + 1 + 1 + … + 1
2 3! 12!
= 2.71828 18282 8617…

のように，足し合わせる項の数を増やせば正解に近づいて行きます。

前へ 上へ 次へ

2005年10月26日公開
2013年4月30日更新