単精度実数
Single-precision real number

名古屋工業大学
先進セラミックス研究センター
井田 隆

名古屋工業大学 環境材料工学科 3 年次授業「マテリアルデザイン」の講義ノートです。

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第１部　コンピュータの基礎
Fundamentals about Computer

第４章　数値計算
Numerical calculation

４−１　数の表現
Expression of numbers

４−１−２　単精度実数
Single-precision real number

コンピュータ内部での整数の表現のしかたは，使用する bitビット 数によって何種類かある以外には，ほとんど決まっています。 ところが，コンピュータ内部で実数をどのように表現するかには異なる規格があります。現在の主流は IEEE 規格（アイ・トリプル・イーきかく）となっています。なお，コンピュータを使って複素数の計算をすることもできるのですが，複素数をどのように表現するかについては，一般的な規格は今のところないと考えて良いでしょう。

1985 年くらいまでは 32 bit = 4 byte で一つの実数を表現するのが普通でした。4 byte で表現される実数のことを単精度実数と呼びます。 32 bit で表される単精度実数の各 bit がどのように割り当てられているかを以下の表に示します。 符号 signal，指数部 exponent，仮数部 fraction の３つの部分に割り当てられています。

指数部は 8 bit なので，0 から 255 の値を表す事ができるはずですが， 1 ≤ ( e₁×2⁷ + e₂×2⁶ + … + e₈ ) ≤ 254 の範囲の値の場合には

という数を表す事とされています。この形式で表される数のことを正規化数 normalized number と呼びます。

指数部が， ( e₁×2⁷ + e₂×2⁶ + … + e₈ ) = 0， つまり (e₁e₂…e₈) = (00…0) となる場合には

という数を表すこととされています。この形式で表される数のことは非正規化数 denormalized number と呼ばれます。

指数部が， ( e₁×2⁷ + e₂×2⁶ + … + e₈ ) = 255， つまり (e₁e₂…e₈) = (11…1) となる場合は特別扱いになっており，

s = 0, ( f₂ f₃ … f₂₄ ) = (00…0) のとき x = +∞

s = 1, ( f₂ f₃ … f₂₄ ) = (00…0) のとき x = −∞

( f₂ f₃ … f₂₄ ) ≠ (00…0) のとき x = NAN

とされます。ここで NAN は非数 (Not A Number) を表します。

正規化数では指数部（127 を差し引いた値）が −126 から 127 の値をとることができますから，正規化数の中で絶対値の最も小さい数は

±1 × 2⁻¹²⁶ = ± 1.17549 × 10⁻³⁸

絶対値の最も大きい数は

となります。

非正規化数の中で絶対値の最も小さい数は

となります。

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2005年10月26日公開
2013年4月30日更新