ダ・ヴィンチのウィトルウィウス的人体図と黄金比

名古屋工業大学
先進セラミックス研究センター
井田 隆

[ English ]

レオナルド・ダ・ヴィンチが描いたとされる「ウィトルウィウス的人体図」がどのように意図されたものかについて調べました。 ダ・ヴィンチが描こうとした円の半径と正方形の辺の長さの比は,黄金比 (1 / r) = (51/2 − 1) / 2 = 0.6180··· ではなく,137 / 225 = 0.6088··· という値であったと推測されます。


1.ダ・ヴィンチのウィトルウィウス的人体図と黄金比

黄金比 golden ratio とは, r = (1 + 51/2) / 2 = 1.6180··· あるいは (1 / r) = (51/2 − 1) / 2 = 0.6180··· という数値で表される比のことです。

レオナルド・ダ・ヴィンチ Leonardo da Vinci が描いたとされる 「ウィトルウィウス的人体図」“Vitruvian man” の中の「円の半径」と「正方形の辺の長さ」の比が黄金比であると述べられている例が少なくありません。 2003 年に出版されたダン・ブラウンの「ダ・ヴィンチ・コード」という小説で取り上げられて有名になりました。

このことの真偽を確かめるために,インターネットから入手した画像を元にして,ダ・ヴィンチが正方形を意図して描いたと思われる図形が,実際に正方形に概ね一致するように画像を線形変換により変形した後に寸法を測ることを試みました。この操作には Adobe Photoshop を用いました。

処理後の画像データを Fig. 1 に示します。

処理後の画像の寸法を測定した結果,円の半径と正方形の辺の長さの比は,0.606 ∼ 0.609 程度の値になり,黄金比 0.618 より,かなり小さい値になりました。


Fig. 1

“Vitruvian man” by Leonardo da Vinci (normalized)

2.黄金比モデル

Fig. 2 に示すように,ダ・ヴィンチが描いた正方形と円(赤線)と,黄金比の関係にある円(青線)とを重ねて比較すると,この食い違いがさらにはっきりとします。

ダ・ヴィンチの描いた図形では,人体が指先を頭頂部の高さに上昇させたときに,指先が円と正方形の両方に接しています。

ところが,黄金比 (0.618) で計算した円ではそのような関係が成立しません。 黄金比の円が正方形の下辺に接するとき,円の上側の部分は,正方形の上側の頂点にかなり近い場所を通ります。 指先を円と正方形の両方とも同時に接するような状況を実現することは,通常の肩の動かし方の範囲では,不可能に見えます。

この相対的な関係は線形変換による変形の影響は受けませんから, ダ・ヴィンチの描いた円の大きさは,本質的に黄金比からずれていることがわかります。


Fig. 2

Lines drawn by da Vinci (red) and a circle with the radus of golden ratio (blue)

3.正方形45°回転モデル

ダ・ヴィンチの描いた円は,下端が正方形の下辺と接することは明らかですが, Fig. 3 に示すように,「正方形を 45° 回転させた図形の上の頂点を通る」という説があります[Geometrical construction of the Vitruvian Man by Leonardo da Vinci]。

この場合,円の半径と正方形の辺の長さの比は (21/2 + 1) / 4 = 0.604 となるはずであり,確かに黄金比の値(0.618)に比べれば,実測の結果(0.606 ∼ 0.609)にかなり近い値になっています。

しかし,ダ・ヴィンチが実際にそのような作図をした痕跡は残っていませんし,どのような意図でそのように円を作図したかが不明です。 結果的にはかなり良く合っているように見えますが,このことから,ダ・ヴィンチの円が本当にこの規則に従って描かれたものだという結論が導けるとは思えません。

ウィトルウィウスの記述する円の特徴として

  1. (i) 中心が臍の位置にある
  2. (ii) 適当な角度で開いた手足に接する

という条件があります。 しかし,臍の位置は少し上下にずらしてもそれほど不自然にならないでしょうし,手足を開く角度によって接する円も変わります。 (i), (ii) の条件では,円の位置と半径を確定できません。

ダ・ヴィンチの描いた円には,

  1. (iii) 直立したときの足の裏を通る
  2. (iv) 頭頂部の高さに指先を上昇させたときの指の先端の位置を通る

という二つの特徴があります。 (iii), (iv) の条件で円の半径の許容範囲はかなり狭く限定されます。 これはダ・ヴィンチが意図的に導入した条件であり,偶然そうなったわけではないと考えるのが自然でしょう。


Fig. 3

Lines drawn by da Vinci (red) and a circle going through the top vertex of the 45°-rotated square (blue).

4.ダ・ヴィンチの描いた線と点

「ウィトルウィウス的人体図」には,ダ・ヴィンチ本人が描いたと思われる線分と点とが認められます。 また,図の下側に目盛りのようなものがついています。

Fig. 4 に,これらを赤い線で重ねて示します。

多くの線分が描かれていますが, Fig. 4 の中の A, A′, B, B′ と記した4カ所だけ,明瞭に点が描き入れられていることがわかります。 必要なら元の図( Fig. 1 )をもう一度確認してください。


Fig. 4

Lines, segments, dots and scale drawn by da Vinci (red).

5.ダ・ヴィンチのメモ

「ウィトルウィウス的人体図」の下部に記載されているメモには,

  • 胸上部から頭頂部までは身長の 1/6
  • 胸上部から髪の生え際までは身長の 1/7
  • 肩幅は身長の 1/4
  • 胸から頭頂部までは身長の 1/4
  • 肘から指先までは身長の 1/4
  • 肘から腋の下までは身長の 1/8
  • 手の長さは身長の 1/10
  • 鼠蹊部の位置は身長の 1/2
  • 足の裏から膝の下までは身長の 1/4
  • 膝の下から鼠蹊部までの距離は身長の 1/4

などと書いてあるそうです。 実際に描かれている線分の間隔は, Fig. 5 に示すように, この記載の内容に良く対応したものになっています。

図の下に描かれている目盛りは,「身長」=「正方形の一辺の長さ」に対して 1/96 の間隔と 1/24 の間隔に相当します。 この目盛りの意図ははっきりとしませんが,例えば「手の長さ」=「身長の 1/10」の代わりに「1/24 目盛り二つ分と 1/96 目盛り二つ分を合わせた長さ」=「身長の 1/9.6」を近似的な長さとして用いるような使い方をしたのかもしれません。


Fig. 5

Distances between segments based on the note in the lower section.

6.ダ・ヴィンチが描き入れた4つの点

Fig. 4 に示されている多くの線分のうちで,線分 AA′,BB′ の端点だけ,明瞭に点が描き入れられています。 このことは,この二つの線分だけは他の線分と異なり,端点に位置を特定する意図があるか,線分の長さが特定の長さを指示することを意味します。

線分 AA′,BB′ は,それぞれ頭頂部から 1/6,1/4 の距離にあり,メモの内容から「胸上部 above the chest」,「胸 breasts」に対応するものです。 しかし,線分の両端の位置や長さに関する記載はありません。

線分 BB′ は乳首の上を通る直線で,この長さには「胸の幅」という意味があることはわかります。 実際に描かれた線分 BB′ の長さは 1/5 に近い値です( Fig. 6 )。 個人差はあるでしょうけれど,乳首の位置に手をあてると,確かに胸の幅は手の大きさ二つ分に近いことがわかります。別の箇所でも「整数の逆数」で表される距離が使われていることから,ダ・ヴィンチは,胸の幅が手の大きさ(1/10)二つ分と仮定して 1/5 という値を用いている可能性が高いでしょう。

描かれている線分 AA′ の長さは 1/7.5 = 2/15 に近いのですが,この長さがどのように決定されたかは明確ではありません。 後述するように,点 A, A′ の位置は,腕を回転させるときの回転中心として用いたと考えられます。 このことを前提とすれば,肩の幅(1/4)より狭くなければいけないという制約はありますが,肩の動かし方によって腕の動き方も変わるので,ある程度の自由度が残ります。

ところが,ダ・ヴィンチの描いた点 A, A′, B, B′ の配置を比較すると, Fig. 6 に示すように, 「点 A, B を結ぶ直線と,点 A′, B′ を結ぶ直線が,頭頂部の位置 T で交差する」 関係になっています。

この関係を成立させるためには,線分 AA′ の長さは,(1/5) × (1/6) / (1/4) = 2/15 という値にしなければなりません。


Fig. 6

Positioning of four special points.

7.腕の回転(1)

Fig. 7 に示したように,水平に腕を伸ばしたときの指先の位置(点 C)は,位置 A と同じ高さにあります。 また,頭頂部と同じ高さになるように動かしたときの指先の位置を点 D とすると,線分 AC と AD の長さが等しいという関係があります。

点 A の位置は,肩の関節の位置からはかなりずれた位置にありますが,腕と肩が連動して運動することも含めて考えれば,腕を上方向に回転させたときの実質的な回転中心に相当すると考えるのが自然です。

ダ・ヴィンチは点 A の位置にコンパスの軸をあて,水平の指先位置(点 C)で半径を決めて,コンパスを動かして正方形の上辺と交差する点として D の位置を決めたと想像できます。この点 D を通り,正方形の下辺に接する円は一意に確定します。

円の中心(臍)の位置をどのような方法で探したのかは明確ではありませんが,コンパスや定規を使った作図で決めることも難しくないでしょうし,試行錯誤で求めたのかもしれません。最終的に正方形の下辺と接するようにすることだけ気をつければ,正方形の上辺との交点の位置が少し本来の位置からずれたとしても目立たないでしょう。


Fig. 7

Rotation of the arms (1).

8.腕の回転(2)

ダ・ヴィンチは作図によって円の半径を決めたのではないかと思われますが,この方法で決定される円の半径は,計算で求めることもできます。

Fig. 7 に示すように, 正方形の辺の長さ(身長 = 両腕を水平に広げた幅)を 1 とすれば,点 A と点 C の距離は

AC = 1/2 − (2/15)/2 = 13/30

となります。

したがって,点 D と頭頂部 T との距離は,

1/15 + [(13/30)2 − (1/6)2]1/2 = 7/15

となることがわかります ( Fig. 8)。


Fig. 8

Rotation of the arms (2).

9.円の半径の計算

ダ・ヴィンチが描こうとした円の半径を R とすると, Fig. 9 に示すように,

[R2 −(7/15)2]1/2 + R = 1

の関係が成立するはずなので,この式を解けば

R = [1 + (7/15)2] / 2 = 137/225 = 0.6088···

という解が得られます。


Fig. 9

Calculation of the radius of da Vinci's circle (R = 137/225).

10.結論

レオナルド・ダ・ヴィンチの「ウィトルウィウス的人体図」に,ダ・ヴィンチが描いた正方形と円を赤線で, 正方形の下辺と中点で接する半径 137/225 (0.609) の円を青線で描き入れた図を Fig. 10 に示します。拡大すればわずかなずれのあることがわかりますが,今までに提案されてきたモデルと比較すれば,一致の度合いが改善されているようです。

ダ・ヴィンチは,胸の幅を身長の 1/5 とし,この端の点 B, B′ と頭頂部 (T) を 1 : 2 に内分する点 A, A′ を求めました (Fig. 6)。 そして,点 A を中心として腕を回転させたときの指先と正方形の上辺の交点 D を求めたと推定されます (Fig. 7)。 最終的に,ダ・ヴィンチは正方形の下辺と中点で接し,点 D を通る円を描きました (Fig. 8)。

結果として,ダ・ヴィンチが描こうとした円の半径は,正方形の辺の長さ(身長)の 137/225 倍の長さになるはずです (Fig. 9)。

そして,ダ・ヴィンチはほぼ意図した通りの円を描くことに成功しているとみなすことができます (Fig. 10)。


Fig. 10

Square and circle in the “Vitruvian Man” (red) and the circle with the radius of 137/225 (blue).


2012年6月18日